Hipoteza Riemanna

Dla \(\Re(s) > 1\) funkcja dzeta przedstawia się wzorem:
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$
Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Dzeta Riemanna ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej \(\Re(s) = \frac{1}{2}\) zwanej prostą krytyczną. G. H. Hardy oraz J. E. Littlewood udowodnili, że jest ich tam nieskończenie wiele. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey 1989).

Problem NP

Problemy milenijne jest to  zestaw siedmiu zagadnień matematycznych ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya 24 maja 2000 roku; za rozwiązanie każdego z nich wyznaczono milion dolarów nagrody. Do dziś rozwiązano tylko jeden problem: hipoteza Poincarégo została potwierdzona w 2006 roku przez rosyjskiego matematyka Grigorija Perelmana.

Osobiście najciekawszym problemem jest dla mnie problem pierwszy:
Problem NP (niedeterministycznie wielomianowy) to problem decyzyjny, dla którego rozwiązanie można zweryfikować w czasie wielomianowym. Równoważna definicja mówi, że problem jest w klasie NP, jeśli może być rozwiązany w wielomianowym czasie na niedeterministycznej maszynie Turinga.
Różnica pomiędzy problemami P i NP polega na tym, że w przypadku P znalezienie rozwiązania ma mieć złożoność wielomianową, podczas gdy dla NP sprawdzenie podanego z zewnątrz rozwiązania ma mieć taką złożoność.

Przykładowo rozważmy problem:

Czy jakikolwiek niepusty podzbiór zadanego zbioru (np. {-2,6,-3,72,10,-11}) sumuje się do zera ?

Trudno znaleźć rozwiązanie tego zagadnienia w czasie wielomianowym. Nasuwający się algorytm sprawdzenia wszystkich możliwych podzbiorów na złożoność wykładniczą ze względu na liczebność zbioru. Nie wiadomo zatem, czy problem ten jest klasy P. Na pewno natomiast uzyskawszy z zewnątrz kandydata na rozwiązanie (np. {-2,6,-3,10,-11}) możemy w liniowym (a zatem wielomianowym) czasie sprawdzić, czy sumuje się do zera. Jest to zatem problem NP.

Problem jest nierozwiązany. Wielokrotnie przedstawiano próby jej udowodnienia jak i obalenia, a także wykazania niedowodliwości.